Auf die Beschwerde der Antragstellerin wird der Beschluss des Sozialgerichts Berlin vom 29. Januar 2013 geändert. Der Antragsgegner wird im Wege der einstweiligen Anordnung verpflichtet, der Antragstellerin vorläufig für die Zeit vom 8. April 2013 bis zum 30. September 2013, längstens jedoch bis zur rechtskräftigen Entscheidung in der Hauptsache, Leistungen zur Sicherung des Lebensunterhalts nach dem Sozialgesetzbuch Zweites Buch (SGB II) in Höhe von monatlich 733,96 Euro zu zahlen.

Im Übrigen wird die Beschwerde zurückgewiesen.

Der mit der Beschwerde anhängig gemachte Antrag auf Erlass einer einstweiligen Anordnung wird abgelehnt.

Der Antragsgegner hat der Antragstellerin deren außergerichtliche Kosten des Verfahrens vor dem Sozialgericht zur Gänze sowie des Verfahrens vor dem Landessozialgericht zur Hälfte zu erstatten.

Der Antragstellerin wird für die Durchführung des Verfahrens vor dem Landessozialgericht Prozesskostenhilfe ohne Festsetzung von Monatsraten und aus dem Vermögen zu zahlenden Beträgen unter Beiordnung ihres Verfahrensbevollmächtigten bewilligt.