1. Die Berufung der Klägerin wird zurückgewiesen.
2. Auf die Berufung des Beklagten wird der Gerichtsbescheid des Sozialgerichts Hamburg vom 15. September 2021 abgeändert und die Klage abgewiesen, soweit der Beklagte unter Abänderung des Überprüfungsbescheides vom 24. Februar 2020 in Gestalt des Widerspruchsbescheides vom 8. Juli 2020 verpflichtet worden ist, den Bescheid vom 29. Mai 2018 abzuändern und die für die Zeit vom 1. Juni 2018 bis zum 31. Juli 2018 darlehensweise bewilligten Leistungen in einen Zuschuss umzuwandeln.
3. Der Beklagte hat der Klägerin 1/7 der notwendigen außergerichtlichen Kosten zu erstatten.
4. Die Revision wird nicht zugelassen.
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